100年后，物理学家终于找到宇宙学运动方程的解析解

它是苏联物理学家弗里德曼于1922年在弗里德曼方程中提出的，至今仍是理解宇宙运动和演化的核心方程，描述了我们处于一个均匀的，各向同性的膨胀宇宙中现在，物理学家终于找到了方程的解析解，根据新理论，我们的宇宙如观测到的那样是平的，这并不特殊

当我们在太阳系中发现一个奇怪的天体时，通过记录一个很短的轨道，就可以分辨出它是系统内的小行星还是系统外的路人天文学家是如何一窥全豹的其实取决于我们中学学过的偏心率E

我们知道，在引力的作用下，天体的轨道是一条圆锥曲线若e > 1，则轨道为双曲线，如果e=1，轨道是抛物线两种情况都说明轨道是开放的，这个天体是外来者，被太阳溜达一次就再也回不来了而如果e < 1，则说明轨道是一个封闭的椭圆，天空会周期性地围绕太阳旋转

换算系数

同样，我们在描述宇宙整体演化时，也需要一些指示性的参数最基本也是最重要的一个是比例因子A，它表示在与宇宙同步膨胀/收缩的坐标系中，坐标距离与实际物理距离的比例关系宇宙在膨胀，也就是说A变大了

目前，在两点间物理距离增大的情况下，宇宙的膨胀速率约为每10亿年7%如果定义今天的a=100光年，即共动坐标系中的单位坐标距离1对应100光年的实际物理距离，那么十亿年后，伴随着宇宙的膨胀，共动坐标系被拉伸，单位坐标距离1对应107光年的实际物理距离，即a=107光年

由于对自我中心主义的不屑和天文观测的事实，我们认为宇宙的各个方向都在均匀同步地膨胀，只是在不同的时间阶段膨胀的速率不同因此，a与空间位置和方向无关，只是时间的函数如果有读者听说过处处均匀球对称的老梗，那么宇宙学中的标度因子绝对是典型代表之一

就像中学物理课本上用位移，速度，加速度来描述物体的运动一样，宇宙学家依靠A，

你可以描述宇宙的运动，分别代表A对时间的一阶导数和二阶导数，也就是宇宙的膨胀速度和加速度但是宇宙的动力学方程比牛顿第二定律稍微复杂一点，因为影响时间的一阶导数和二阶导数的因素不止一个

宇宙运动方程

翻开任何一本宇宙学教科书，开头都会提到两个方程。

这些是弗里德曼的第一和第二方程1922年，前苏联物理学家弗里德曼从广义相对论方程中推导出这组方程至今100年过去了，它仍然是研究宇宙演化规律的理论核心

为了看起来更清爽，我们可以用普朗克单位制，规定c=8πG=1，那么方程组就变成了

ρ代表能量密度，包括质量形式的能量密度ρm和辐射形式的能量密度ρ r伴随着宇宙的膨胀，质量密度会被稀释

除了波数的稀释之外，辐射能的波长也被拉长，频率相应地降低，所以

所以能量密度可以分为两项ρ=μa—3+ra—4如果忽略两种形式之间的能量转换，μ和R都是固定常数

代表宇宙中所有三维空间在某一时刻的曲率K=1意味着宇宙整体上是一个三维超球体如果你在任何方向走得足够远，你就会回到起点K=—1表示空间像鞍面一样有负曲率，只不过鞍面是二维的，而宇宙空间是三维的K=0对应的是宇宙的平坦目前的天文观测数据表明，我们所处的宇宙应该是非常接近扁平的当我们只讨论我们的宇宙时，往往直接取k=0，然后推导出来

λ原本是广义相对论方程中的宇宙常数它在数学意义上可以是任何常数，在物理意义上代表真空本身的能量它的密度不会伴随着膨胀而衰减弗里德曼方程的原始形式中没有包含这一项，因为当时的物理学家绝不会接受真空还能有能量

但在宇宙加速膨胀被证实后，现代宇宙学模型不得不拿起λ项放在面片上，来代表加速宇宙膨胀的真空能量从弗里德曼第二方程可以清楚地看出，如果λ ≦ 0，则方程无法描述

形势可是，这种真空能量到底是什么，着实让宇宙学家头疼

宇宙暗能量

到目前为止，还没有一个自洽的理论可以解释真空能量的现状在这种情况下，宇宙学家不得不称之为暗能量，用一个常数λ来稍微简单粗暴地表示根据观测数据，现今宇宙中的辐射能密度可以忽略不计，包括暗物质在内的所有质量密度ρm与真空能量密度ρ λ的比值约为ρ m: ρ λ≈ 3: 7换句话说，已知物质和暗物质总共约占30%，剩下的70%能量是隐藏在真空中的暗能量

于是，在科普文章中流传着一句话，我们对宇宙中70%的能量一无所知，这显然是不严谨的因为这个ρ λ是已知的巨大真空能量和未知的压机制之差，两者的量级刚好相等，而且都远大于ρ λ本身

图中橙色代表认知空白部分，蓝色代表理论解释和实证部分两部分重量几乎相等，所以我们未知的部分只有50%

真正理清这些关系后，我们会觉得这个50%背后的困惑，远远超过了当初对那个70%的解读我们所能看到的一切，无论是闪烁的星星还是昏暗的尘埃，甚至是只能通过引力效应向我们展示其存在的暗物质，在我们所知的能量形式中几乎占零

如果把百分比写出来，那就是一个小数点后有几十个甚至几百个零的微小数字。幸好有宇宙学和天文观测数据来拯救我们的困惑，否则我们会毫不犹豫地相信真空本身才是宇宙的真正统治者！

还有一个谜题也非常令人费解根据弗里德曼方程，质量密度随时间演化的规律为ρ m ~ t—2，而真空能量密度不随时间变化，ρ λ ~常数此时此刻，宇宙诞生138亿年后，我们抬头看，居然看到ρm和ρ λ在同一个数量级，太巧合了

所有这些迹象使得一些研究人员开始怀疑广义相对论在宇宙尺度上的有效性也许弗里德曼方程根本不能在宇宙尺度上应用可是，这种怀疑并不像乍看上去那么合理要知道我们所面临的是一个巨大的量级挑战，即使广义相对论和牛顿力学有很大的差别，也几乎不可能找出哪一个理论预言可以相差百倍

当然，我们相信未来会有更完善的理论来取代广义相对论，但如果那个理论能在光年尺度上给出和广义相对论一样的结果，在几百亿光年的宇宙尺度上和广义相对论相差几十亿倍，那就真的不可想象了因此，匆忙抛弃弗里德曼方程，另起炉灶，未必能找到更好的出路

解方程

他们解方程的想法很容易理解。第一步是写出最一般形式的方程:

方程右边的四项分别对应辐射能量密度，质量密度，曲率贡献和真空能量密度。然后，将时标从坐标时间T转换为共形时间τ，两者之间的关系为:

所以弗里德曼方程变成了

对等式右侧的多项式进行因式分解，等式可以进一步写成

因为最高只有四次，a1，a2，a3，a4可以用λ，κ，μ，r解析表示，当然也可能是复数。

经过一番眼花缭乱的变换，借助椭圆积分工具，一个被解决了。近似的解决方案如下

其中a1，a2，a3，a4，ζ，M都是包含A1，A2，A3，A4，λ的解析表达式，C是积分常数。

这个sn二元函数是解析解的灵魂它是12个雅可比椭圆函数之一它在本质上有点像正弦函数它是一个双周期函数，在实轴和虚轴上都具有周期性因此，a 具有双重周期性，就像定义在轮胎表面上的函数当然，这个轮胎的表面是一个复杂的平面

这种数学结构不仅看起来非常有趣，而且为研究宇宙的演化提供了非常新颖的思路和工具复数的时间包含了非常丰富的内容通过一个叫做尾流旋转的操作，循环的虚时间变成了温度，熵变成了作用量，然后是量子态演化的阶段...量子场论中的很多问题都可以和热力学问题相互转换利用这一套数学技巧，我们甚至可以在短短几个步骤中轻松推导出黑洞温度和黑洞熵

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